TURBA PHILOSOPHORUM - С. Н. Никаноров - Число у Аристотеля и в философии Нового времени

Вступление.

Положение об основании в его позитивной формулировке утверждает, что для всякого сущего должно быть основание. Однако само положение об основании не может быть обосновано через нечто сущее. Сущим я называю форму существования (осуществления) сущности. Сущность представляет собой чтойность вещи, т. е. ответ на вопрос "что это такое есть"? Положение об основании распространяется только на область сущего. Положение об основании говорит о всеобщей причинной необходимости. Сущность не может быть обоснована через положение об основании. Число является сущностью, поскольку оно указывает на единство вещи. Я отличаюсь от компьютера, на котором сейчас печатаю свою статью. Но и компьютер, и я являемся тождественными в том, что мы одинаковы в количественном отношении и можем быть представлены одним и тем же числом — единицей. Точно так же три яблока, три человека и три автомобиля являются различными сущими, но у них одна и та же числовая сущность — тройка. Положение об основании не может распространяться на число, поскольку число является сущностью. Что же является сущностью числа? На мой взгляд, сущность числа заключается в том, что оно является аподиктическим символом (т. е. всеобщим, необходимым и достаточным) любого сущего.

Из того, что положение об основании не может быть обосновано из области сущего не следует, что положение об основании никак не может быть обосновано. Положение об основании имеет основание в самом себе. Точно так же основываются другие сущности: жизнь и логика. Я убеждён в том, что жизнь и логика не могут быть обоснованы только исходя из самих себя. Число как сущность может быть обосновано только исходя из самого себя. У единой сущности числа может быть несколько сущих. Одним из сущих является новоевропейское представление о числе. Новоевропейское число отличается от греческого прежде всего тем, что оно является как функция, а древнегреческое — как гармония, или величина.

Пифагорейцы космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число". Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи, и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии. Таким образом, число определяет вещь не только количественно, но и качественно.

Греческое число должно было быть величиной, причём целой величиной. Когда один из пифагорейцев открыл, что гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами по 1 ед. изм. нельзя выразить ни натуральным числом, ни натуральными числовыми соотношениями, то, по преданию, пифагорейская община сохранила это в тайне, чтобы не возмущать умы современников. Вера в числовую гармонию, которая берётся за основу мира, не совместима с дробными, а тем более с иррациональными числами.

Человек Нового времени представляет число в основном через время. Грек представляет число в основном через пространство.
В новоевропейской математике число является одинаковым по количеству и по последовательности. Математика Нового времени определяет число через функцию. В древнегреческом представлении о числе последовательность не так важна. Гораздо важнее гармония между числовыми соотношениями. Античная математика определяет число через пропорцию. В математике Нового времени число конструируется путём последовательного прибавления единиц в пространстве или во времени. В греческой математике число конструируется путём гармонического сочетания.
В Новоевропейской математике число определяет мир количественно. Качественные числовые определения встречаются значительно реже. Согласно Декарту стол и я являются различными субстанциями, я — мыслящей субстанцией, а стол протяжённой. Число 1 характеризует не только количественно, но и качественно. Качественно стол и я являются единством, которое может быть выражено числом 1. В древнегреческой математике, в отличие от новоевропейской математики, гораздо важнее то, что число определяет вещь не только количественно, но и качественно. В Древней Греции число являлось мерой всех вещей, как в количественном, так и в качественном измерениях. Новоевропейское число, поданное через время, не может объяснить вещи качественно. Каждый дискретный момент времени равен другому дискретному моменту времени в количественном отношении. Но каждый дискретный момент времени отличается от другого дискретного момента времени качественно. Трансцендентальной схемой новоевропейского числа является последовательный ряд из дискретных моментов времени.
Человек Нового времени убеждён в том, что мы сами конструируем числа. Декарт относит представление о числе к врождённым идеям. Древние греки также полагали числа врождённой способностью. Согласно Платону она исходила из общего принципа мироустойства.
Пифагорейцы учили о том, что число образуется из двух противоположностей: единого и многого. В своей гармонии единица и двоица образуют первое число - троицу. Кант говорит о том, что число образуется из последовательного прибавления моментов времени. Т. е. число в Древней Греции является синтезом количества и качества: c одной стороны оно характеризует вещь количественно, а с другой — качественно. Количественная характеристика отлична от качественной и они, согласно Аристотелю, не могут переходить друг в друга.
Греческой математика не обязательно должна быть применима на опыте. Европейская математика строится таким способом, чтобы, в конечном итоге, быть применимой в опыте.
Греческая математика исходит из числа как уже некоего ставшего. Новоевропейская математика, на мой взгляд, трактует число через становление. Может показаться противоречивым, что число является сущим и трактуется через становление. Становится может только сущее. Сущность это нечто уже ставшее. В нашем случае этого противоречия нет. Сущностью, символом числа может быть только нечто ставшее. Число как сущее способно становится — в древнегреческом случае как актуальная бесконечность, а в Новоевропейском — как потенциальная бесконечность. Это положение справедливо не только в отношении чисел, но и отношении познания вообще. Познание представляет собой бесконечный процесс. У греков познание является и совершённым, и совершенным только в том случае, если оно может быть завершено. Новоевропейская философия исходит из того, что познание не может считаться совершенным из-за того, что оно завершено. Познание совершенно совершено только в том случае, если при каждом познавательном акте остаётся нечто непознанное, что может послужить основанием для нового познавательного акта. Грек исходит из того, что в результате познания должно быть, нечто ставшее, совершенное оттого, что оно не может больше становиться. Человек Нового времени исходит из того что за каждым познавательным актом следует другой познавательный акт; познание совершенно только в том случае, если процесс познания бесконечен потенциально.

Для Древних Греков число является символом завершённости и совершенства.

Концепция количества Аристотеля.

Аристотель полагает три свойства количества. Во-первых, количество - то, что не имеет себе противного. Аристотель разделяет величины, составленные из частей, имеющих взаимное расположение, от величин и частей без взаимного расположения. Величинами без взаимного расположения являются линиии, поверхностии и тела. Величины без взаимного расположения суть числа, слова и время. Величины с взаимным расположением частей являются пространственными. Я употребляю термин пространственные в том смысле, что они занимают место. Величины без взаимного расположения не пространственные. Если линию разделить на части, то в одной части получится на точку больше, а в другой — на точку меньше. Таким образом, полученные части линии окажутся неравными. Получится так, что в одной части линия прервётся. Но линия непрерывна по своему определению. Поэтому деление линий невозможно. Аналогично обстоит дело с плоскостью. Если разделить плоскость на части линией, то в одной части окажется на линию больше, а в другой на линию меньше. Поэтому плоскость непрерывна.

Во-вторых, Аристотель устанавливает категорию количества. Категория количества делится на дискретное и непрерывное. Причём, категории Аристотеля не совпадают с делением на пространственные и непространственные величины. Примером чистой непространственной величины у Аристотеля является время. Но в аспекте счисления время является дискретным. Раздельное количество является непрерывно делимым или дискретным. Количество непрерывно делимое, или измеримое, суть величина. Величины, составленные из частей, непрерывно делимы, или счислимы. Число есть непрерывно делимая величина. Таким образом, число у Аристотеля не может быть непрерывно делимо. Поэтому можно дойти до его основания — меры. Мерой, или основанием для числа, является единица. Непрерывно делимое имеет общую границу. Не непрерывно делимое не имеет общей границы. У числа нельзя указать на общую границу частей. У дискретных количеств можно указать на общую границу: для линий эта граница является точкой, для плоскостей — линией, а для объёмных тел — плоскостью. У чисел, т. е. непрерывно делимых величин нет ни общей, ни внутренней границы. Общей границы нет потому, они не расположены в пространстве. Внутренней границы нет потому, что невозможно, имея в наличии определённое число однородных объектов, указать на различное расположение единиц в них. В этом смысле у числа нет как пространственной границы, так и границы вообще.

Какова мера для измерения величины? Не является ли точка общей мерой для измерения величины? Можно ли сказать, что в рамках философии Аристотеля между двумя единицами нет общей границы? Необходимо ли чтобы общая граница для дискретных и непрерывных величин должна быть пространственной? Взаимное расположение частей возможно только в пространстве. Число находится вне пространства. Следовательно, в числе нет взаимного расположения частей. Почему основание для счисления, или единица, и не может быть представлено в пространстве.

Почему у числа невозможно указать на общую границу частей? Между двумя частями линии всегда находится точка. Между двумя частями плоскости всегда находится линия. И между двумя смежными телами всегда находится плоскость. А между двумя единицами не может быть никакой границы. У единицы не может быть никаких частей, поскольку она не непрерывно делима. Единицы нигде соприкасаться друг с другом.

Является ли единица неподвижной? Части времени не соприкасаются другом и являются неподвижными. Возможно ли, что пять линий и пять точек у Аристотеля одинаковы по количеству? Число возникает из своей меры, или единицы. Единица — то чем счисливают число. Число есть множество, которое может быть сведено к единству. Множество, не сводимое к единству, не является числом. Число есть счислимое, в отношении единицы. При счисливании ничего не возникает и не уничтожается. Внутри счисливаемого — числа, или измеряемого — величины, не существует никакого другого отношения, кроме единицы, или меры. Измеряемое не может существовать без меры. Мера не может существовать без измеряемого. Единица — то, чем считают числа; число, в свою очередь, счислимо при помощи единиц. Если у нас есть пять яблок, то неважно, с какого яблока мы начнём счёт, в итоге мы всё равно получим число пять. Единица счисления остаётся неизменной, может изменяться лишь счислимое множество. Если убрать одно из яблок, то у нас окажется множество, состоящее из четырёх единиц. Четвёрка и пятёрка могут быть сведены к единству, но только в мышлении и только на основании счёта. У различных объектов существуют различные числа. Но они сходны в том, что имеют в своём основании единицу. Величины не могут быть измерены при помощи числа. К величинам относятся глубина, длина и ширина. Они не могут быть измерены при помощи единицы, так как они сами являются единицами измерения. Точно таким же образом числа не могут быть измерены при помощи длины, глубины и ширины. Как можно мыслить длину, ширину и глубину вне порядка? На мой взгляд, в рамках философии Аристотеля можно дать следующий ответ. Точка является начальной мерой для вех измеряемых величин. В этом смысле она является величиной, но никак не единицей измерения. Точка есть длина без ширины. Плоскость — длина и ширина без глубины. Тело протяженное в трёх измерениях — длина, ширина, и глубина. Длина, ширина, и глубина суть различные величины, которые в своём основании имеют точку. В одном измерении точка является длиной, в двух — шириной, в трёх — глубиной. Но, тогда возникает вопрос, не является ли длина мерой для линии, длина и ширина — для плоскости, а длина, ширина, и глубина — для тела? Ведь, согласно Аристотелю, может существовать только одна мера, с помощью которой можно измерять измеряемое. Во всяком случае, очевидно, что длина, ширина, и глубина имеют в своём основании точку. Именно точку а не единицу, поскольку единица находится вне пространства, а точка расположена в пространстве. Отличается ли измеряемое при помощи точки от счислимого при помощи единицы?

Наконец, третье аристотелевское деление — на остающиеся и последовательные. Первое - то, части чего существуют в одно и то же время, как, например, прямая линия, второе — части чего существуют в постоянном течении как время. Подводя итоги классификациям Аристотеля, я хочу отметить следующее. В делении количества на имеющие взаимное расположение и не имеющие взаимного расположения, угадывается будущая модель абстрактного числа. Во второй классификации непрерывная геометрическая величина противопоставляется прерывному целому числу. В третьей классификации содержится идея противопоставления постоянного переменному.

Николай Кузанский.

Философия Николая Кузанского, на мой взгляд, является одним из переходных моментов, которые привели к формированию новоевропейского представления о числе. Он использует слово numerus для обозначения числа. Numerus в древней философии обозначало гармонию, пронизывающую всю вселенную. В философском языке Средних веков слово numerus обозначает вещи одного рода и вида. Вне понятия числа не может быть никакого определения. Число определяет вещь не только количественно, но и по всем другим акциденциям: «Соразмерность, означая вместе и сходство в чём-то и различие, не может быть понята помимо числа. Поэтому всё соразмерное так или иначе охватывается числом. Причём число состоит не только в количестве, образующем пропорцию, но и в любом другом субстанциальном или акцидентальном сходстве или различии» [1]. Без числа не может существовать множественность: порядок и гармония во вселенной прекратятся. Из любого числа можно сделать большее или меньшее число. В любом числе есть превышающее и превышаемое, т. е. любое число может стать как больше, так и меньше. Число изменчиво и способно пребывать в состоянии становления: оно способно стать больше или меньше.

Согласно Николаю Кузанскому существует абсолютный минимум и абсолютный максимум. Оба максимума являются бесконечными. По той причине, что они оба бесконечны они выпадают за степень сравнения. Больше абсолютного максимума ничего не может быть. Но так как абсолютному максимуму как максимуму ничто не противоположно, то меньше него также ничего не может быть. Аналогичную ситуацию я усматриваю на примере абсолютного минимума. Меньше абсолютного минимума ничего не может быть. Абсолютному минимуму ничто не противоположно. Следовательно абсолютный минимум и абсолютный максимум тождественны друг другу. Такое совпадение абсолютов Николай Кузанский называет простым максимумом. Простой максимум является одновременно измеряемым и мерой для измерения. Во всех остальных трёх уровнях бытия может быть различение на меру и измеряемое. Мерой будет число, а измеряемым — рассудок, душа или чувственно воспринимаемый космос.

Символом простого максимума является Божественная единица. Николай Кузанский утверждает, то, что изменяющееся, т. е. число, может существовать только на основании чего-либо неизменного. Таким неизменным является простой максимум или единица. Меньше единицы ибольше единицы ничего не может быть: «Поэтому мы обязательно приходим в числе к минимуму, меньше которого ничего не может быть, а такова единица (unitas). Поскольку меньше единицы ничего не может быть, она и будет минимумом просто, который, согласно с только что сказанному совпадает с максимумом. Такова единица не число — ведь число, допуская превышающее [и превышаемое], никак не может быть ни минимумом просто, ни максимумом просто, — а начало всякого числа, поскольку она минимум, и конец всякого числа, поскольку она максимум. Эта абсолютная единица, которой ничто не противоположно, и есть абсолютная максимальность, Бог благословенный. Его единство (unitas), будучи максимальным, неразложимо, поскольку оно уже есть всё то, что может быть, и тем самым невозможно, чтобы оно стало числом» [2]. Единица простым образом содержит в себе все противоположности. Единица как простой максимум является равенством, который противостоит всякому неравенству и различию. Единица может быть основана только на самой себе, т. е. единстве. Если единство основывается на чём-нибудь другом, то оно станет иным, т. е. числом. Единство всегда равно самому себе, иначе оно перестанет быть единством. Иное представляет из себя множественность и отпадение от единства: «... инаковость же тенью, отпадением от первого простейшего единства, материальной плотностью» [3].

Николай Кузанский пишет о том, что все противоположности заключены в Божественной простоте. Мир образовывается путём развёртывания непознаваемой простоты Божественного единства: «[Ум] изображает эти единства словесными знаками: первое, высший и простейший ум, он называет богом; второе, единство корня, не имеющее предшествующего корня, называет разумом (intelligentia), третье, квадратичное, конкретизацию разума он называет душой; последнее же, развёртывающее и ничего в себе не свертывающее единство, кубичность, предположительно называет телом» [4]. Число на самом высоком онтологическом уровне не может быть до конца нами понято. Однако мы можем приблизиться к нему с различной степенью точности. Самая высокая степень точности познания бытия, которая нам доступна, — присутствует на уровне второго единства — единства разума. Менее точным приближением является приближение на уровне третьего единства — души. Самым приблизительным и почти ничего нам не дающим выступает познание на самом низшем уровне — уровне чувственно воспринимаемого космоса. У Николая Кузанского числа не являются отдельным онтологическим уровнем, а, напротив, пронизывают все уровни бытия: «Число есть некое естественное производящее начало деятельности рассудка; не обладающие умом, например животные, не считают. Число есть не что иное, как развёрнутый рассудок. Можно признать, что число является началом тех вещей, которых касается рассудок, почему без числа, по свидетельству рассудка, вообще ничего не остаётся» [5].

Он говорит о том, что изначально число существует как единство противоположностей в простоте Божественного ума. Оно является символом полного свёртывания противоположностей. Рассуждать о числе в Божественном уме напрямую нельзя. О нём можно рассуждать только по аналогии с единством нашего рассудка: «Исходя из рассудочных чисел нашего ума, мы символически строим предположения о реальных невыразимых числах божественного ума и говорим, первый прообраз вещей в уме творца есть число, подобно тому как число, возникающее из нашего рассудка, есть прообраз [отражённого им] мира уподоблений» [6]. Геометрическим образом числа, находящегося в простоте Божественного ума является точка. Из точки развёртываются три доступные людям уровня бытия: разум, душа и тело.

Из простоты и бесконечной потенции Божественной единицы, как символа свёртывания образуется единство разума. Четыре первых числа символизируют четыре уровня бытия. Первые числа - 1, 2, 3, 4, в своей сумме образуют число 10. Таким образом, божественное единство развёртывается в первое составное единство — единство рассудка. Каждая последующая ступень развёртывания единицы происходит по причине предыдущей ступени развёртывания. Совершенство каждой ступени зависит от возможности развёртывания. Бог способен развернуться во всё. Разум способен развернуться в душу и тело; душа способна развернуться в тело. Тело далее никуда не развёртывается.

Он формирует положение об основании числа в разуме следующим образом: «Итак, если основания противоположностей соединяются в простоте более полного единства рассудка и если рассудок есть язык разума, то тебе станет ясно, что свёртывание противоположностей, [как они существуют] в разумном единстве, отражается не в общеупотребительных терминах рассудка, а в самом его единстве. Поэтому на вопрос "Является ли разум количеством?" можно ответить почти равнозначным предположением, говоря в соответствии с рассудком: Разум количественен в том смысле, что является основанием количества: не термин "количество" является разумным, а основание количества» [7]. Т. е. число, во всяком случае, во втором единстве, обосновывает само себя. Число, в виде сущности, является основанием для всех утверждений рассудка. Число в рассудке образуется из рассудочной способности к различению. Геометрический образ данного положения — линия.

Единство разума способно развернуться в третье единство — единство души. Душа представляет собою развертывание первых чисел разума — 10, 20, 30 и 40. Первые ступени души образуют третье единство — единицу с двумя нолями, или сотню. Единство души представлено через геометрический образ точки. В душе число делится на чётные и нечётные числа: «Суждения души подобны числам, из которых одно чётное, другое нечётное и никогда не может быть одновременно чётным и нечётным. Поскольку суждение души есть её число, то душа приходит к заключению, что противоположности в её основании несоединимы» [8].

Единство души способно развёртываться в четвёртое и последнее единство — единство тела. Первые числа души: 100, 200, 300, 400 образуют единство тела, или тысячу. Последнее единство ни во что не может быть развёрнуто. Геометрическим образом последнего единства является объёмное тело. Николай Кузанский отличался в интерпретации числа от своих предшественников ,платоников, пифагорейцев и аристотеликов, не только тем, что число у него предстаёт как нечто становящееся, но и тем, что он берёт образ числа не только через пространство, но и через время: «В низшем единстве имеют место только глаголы настоящего времени; в первом, высшем, — никакого времени; во втором — свёрнуто настоящего и не настоящего времени; в третьем же — развёрнуто или настоящего, или не-настоящего» [9].

Подводя итоги под числом как сущностью в философии Николая Кузанского, я не могу не ответить, что его философская позиция была близка к пантеизму. Под пантеизмом я понимаю такое толкование о соотношении бытия и мышления, что как бытие идеального, т. е. мышления, так и бытие материального, т. е. мир, оказываются тождественны в Боге. Божественная единица может развернуться в мире, потому, что сущность и существование в Боге — суть одно и то же. Чем число дальше от сущности, т. е. Бога, тем ближе оно к существованию. Обратный переход — от того, как число существует, возможен лишь отчасти — до уровня разума.

Декарт.

Декарт был одним из первых математиков, которые стали трактовать число, исходя из понятия функции. Понятие функции подразумевает наличие взаимоотношения между элементами. Он выдвигает следующие аргументы, на мой взгляд, убедительно доказывающие, что число относится к врождённым идеям:

Число относятся к самоочевидным истинам;
Арифметические и логические понятия взаимосвязаны. Из самоочевидного понятия числа может быть дедуктивным путём выведена вся математика. Число полностью удовлетворяет требованиям аподиктичности, т. е. оно всеобщее, необходимое и достаточное основание для счёта.

Он никогда не сомневался в истинности математических положений. Для того, чтобы усомниться в них, ему понадобился Бог-обманщик: «Во всяком случае я стал считать их сомнительными только по одной причине: мне пришло на ум, что некий Бог мог, пожалуй, наделить меня такой природой, что я обманываюсь даже в тех вещах, кажущихся наивернейшими» [10].

Положение о том, что число в самом себе не существует, и не может существовать, — это положение yовоевропейской математики. Древнегреческая математика изучает вечный и неизменный мир чисел. Декарт, в соответствии с этим положением новоевропейской математики, полагает, что не существует отдельного мира чисел. Но Декарт различает число как сущность и число как сущее. Что, же представляет собой число как сущность у Декарта? Декарт называет субстанцией то, что не нуждается в своем существовании ни в чём другом. В собственном смысле слова, субстанцией является только Бог. В несобственном смысле слова, субстанциями являются вещи мыслящая и протяжённая. Число, равно как фигура и величина, укоренено в протяжённой субстанции. Протяжённая субстанция имеет своим основанием Бога. Следовательно, сущность числа укоренена в Боге и поддерживается Богом. Однако число, как модус протяжённой субстанции, укоренённой в Боге, не представляет собою отдельной реальности, как это было, например у Платона.

Декарт даёт традиционное схоластическое разграничение трёх видов бытия: формального, объективного и эминентного. Формальный вид бытия — это причина явления. Объективный вид бытия — это следствие. Число, на мой взгляд, находится как в формальном, так и в объективном виде бытия. В формальном виде бытия число является основанием для счёта. В объективном виде бытия оно присутствует как счёт. Декарт придерживался закона о достаточном основании, когда говорил, что не существует причины без следствия: «Если мы будем думать, что в идее находится нечто такое, чего бы ни было в её причине, значит она получается из ничего; и сколь бы совершенным ни был тот самый вид бытия, в котором вещь посредством идеи является объективной в нашем мышлении, всё равно не может она быть вовсе ничем, а значит и не может из ничего происходить» [11]. На мой взгляд, формальный вид бытия является сущностью числа, а объективный — его существованием.

Он делит идеи, т. е. "образы вещей", на три категории "врождённые", "принесённые извне", "образуемые мной самим". Я считаю, что сущность числа можно отнести к первой категории, а то, как оно существует — к третьей категории. При этом сущностью числа будет то, что оно познаётся нами ясно и отчётливо. То, как число существует — это счёт. Но число может быть отнесено и ко второй категории идей. Мы, с одной стороны, познаём числа интуитивно в вещи мыслящей: «Что же? Когда в арифметике и геометрии я считаю простым и ясным, например, то, что сумма двух и трёх равно пяти, разве я не достаточно понимаю сущность этих вещей, чтобы утверждать их истинность?» [12]

С другой стороны число может быть соотнесено с вещью протяжённой как её модус: «Определённой я представляю себе количественную величину, которую философы привычно называют постоянной, или, иначе говоря, протяжённость вещи, обладающей этой длиной в длину ширину, высоту. Я различаю части предмета; каждой из этих частей я приписываю размер, форму, место и частное движение, а каждому такому движению — продолжительность. Но не одни только эти вещи, рассматриваемые в таковом самом общем виде, хорошо знакомы и вполне известны мне. При более пристальном взгляде различаются также бесчисленные детали в формах, в числе, в движении и тому подобных вещах, истинность которых до такой степени отчётлива, что, кажется, стоит только обнаружить их — и невозможно уже узнать о них ничего нового» [13].

Я строю следующую схему познания на основании и посредством числа. Нам изначально дана врождённая идея числа, которая одновременно является одним из модусов протяжённой субстанции. Мы обладаем способностью считать именно из-за того, что идея числа является врождённой, и одновременно с этим, является количественной характеристикой вещи протяжённой, которую мы способны схватывать посредством счёта. Однако в связи с тем, что вещь мыслящая и вещь протяжённая радикально отличаются друг от друга, может возникнуть вопрос к какой из субстанций отнести число. Декарт относит его к протяжённой субстанции. Я полагаю, что число может быть отнесено не только к протяжённой, но и мыслящей субстанции. В самом деле, и вещь мыслящая, и вещь протяжённая, несмотря на то, что они радикально отличаются друг от друга, могут быть охарактеризованы одним и тем же числом — 1. Число в вещи протяжённой является модусом. Оно характеризует количественную сторону вещи. Число в мыслящей субстанции выступает как атрибут. Оно атрибутирует вещь мыслящую качественно — символизирует единство Я.

Я хочу отметить тот факт, что Декарт использует число и величину как синонимы: «Арифметику и геометрию Декарт стремится как можно больше уподобить алгебре, отходя в этом смысле от того их понимания, которое было в Античности. Алгебра становится образцом математической науки именно потому, что он рассматривает математику как науку об исчислении, совершенно абстрагируясь от специфики той предметной области, к которой применяется исчисление» [14].

Декарт утверждает, что числа в математике существуют как становящиеся. Числа приобретают своё значение только в ходе расчета: Он не считает числа отдельным онтологическим уровнем, как это было в античности. Он считает, что числа не существуют сами по себе. Он утверждает, что числа обретают существование, только в процессе счёта. Но Декарт не отождествляет число с простым счётом: «Мы стремимся достичь очевидного и отчётливого познания вещей, счётчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только в этом и заключается наука» [15].

Декарт трактует число через понятие о функции. Понятие функции подразумевает нечто становящееся. Античное число представляло из себя нечто неподвижное и неизменное. Число Декарта определяемое через функцию предполагает процесс становления: «Отныне учёные всё яснее начинают осознавать, что наука — это не просто познание вечного и неизменного, — цель, которую ставила себе античная математика, но она скорее есть постижение законов движения и изменения, установление закономерностей связи элементов движущегося объекта» [16].

Идеи о том, что число может быть подано через функцию и, что не существует никакого вечного континуума неизменных чисел приводят к тому, что число у Декарта оказывается, по сути методом, из которого он выводит правила для руководства ума. Именно поэтому можно сказать, что знаменитые четыре правила Декарта для руководства ума применимы, в первую очередь, в области чисел: «Например, заметив, что число 6 есть удвоенное 3, я буду затем искать удвоенное 6, то есть 12 и далее, если мне это покажется нужным, удвоенное 12, то есть 24, потом удвоенное 24, то есть 48, и т. д. Из этого я без труда сделаю вывод, что между числами 3 и 6, существует то же отношение, что и между 6 и 12, между 12 и 24, и т. д., и, следовательно, числа 3, 6, 12, 24, 48 последовательно пропорциональны. Отсюда, хотя бы это было настолько просто, что казалось бы детской забавой, тщательно обдумав, я узнаю, в чём заключаются все вопросы, касающиеся связи и отношений вещей, и в каком порядке их нужно исследовать» [17]. Декарт утверждает, что в отношении природу математика может рассматривать только в количественном аспекте, но никак не в качественном: «Не случайно математика лежит в основе метода Декарта и является для него образцом: ведь в понятии природы Декарт оставил только те определения — протяжение (величину) фигуру и движение, которые составляют предмет математического исследования. Математика изучает соотношение этих элементов, но прежде чем их установить, необходимо ввести измерение и единицу измерения. Декарт подчёркивает — и это очень существенно для него, — что основание для измерения не обязательно должно иметь место в самом объекте, оно может быть и только мыслимым, т. е. устанавливается произвольно; оба этих основания — реальное и только мыслимое, по Декарту равноценны» [18].

Таким образом, Декарт отрицает то, что числа могут определять протяжённую субстанцию качественно. Люди не могут поддерживать сущность числа — это целиком и полностью Божественная задача. Однако люди способны поддерживать существование чисел посредством счёта.

Лейбниц.

Лейбниц был первым философом, кто сформулировал закон о достаточном основании. Разумеется, о законе достаточного основания знали все философа. Уже у Аристотеля есть понятие аксиоматического познания. Но первым философом, кто чётко сформулировал закон о достаточном основании, был именно Лейбниц. В его формулировке закон выглядит следующим образом: «... ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение истинным без достаточного основания...» [19]. Я привёл здесь положение об основание в его отрицательной формулировке — из ничего не может возникнуть нечто. Но у принципа достаточного основания есть ещё и положительная формулировка — всякое следствие имеет свою причину. Лейбниц выделяет два рода истин: истины разума и истины факта. Последние обосновываются принципом достаточного основания. Первые обосновываются принципом тождества.

У принципа тождества также есть две формулировки: положительная и отрицательная. Принцип тождества в его положительной формулировке предполагает, что вещь или понятие всегда является тождественной самой себе (A есть A). Положение о тождестве в его отрицательной формулировке Лейбниц называет принципом противоречия. Принцип противоречия утверждает то, что «... мы считаем ложным то, что скрывает в себе противоречие, и истинным то, что противоположно, или противоречит ложному» [20]. Я буду рассматривать число в соответствии с двумя этими принципами. Истины разума, основанные на принципе тождества не нуждаются в принципе достаточного основания. Фактические же истины не выводятся только в разуме, так как они имеют дело с явлениями. Критерием истинности истин факта является их непротиворечивость и их существования в опыте. Истины разума должны удовлетворять критериям ясности, отчётливости, и быть логически непротиворечивыми. Лейбниц полагает, что они познаются интуитивно.

Лейбниц был гораздо ближе к Аристотелю, чем Декарт; Лейбницу понадобилась "реабилитация" философии Аристотеля. Он не склонен так близко сводить число и величину, как это делал Декарт: «По этому поводу Лейбниц высказывает следующее соображение "Можно сказать, что понятие величины, фигуры и движения вовсе не так отчётливы, как это воображают, и что оно заключает в себе нечто мнимое и относящееся к нашим восприятиям, хотя и не в такой степени, как свет, теплота и тому подобные качества, в которых можно усомниться, действительно ли они существуют в природе вещей вне нас..."» [21]. Не смотря на то, что Лейбниц "реабилитирует" философию Аристотеля, он всё же не склонен рассматривать число как отдельный вид бытия, как это было принято у Платона и платоников. Для того чтобы доказать, что время является величиной движения, Лейбниц прибегает к стандартной для новоевропейской философии схеме образования числа: «Фигура же, величина, положение, число и т. д. суть не [виды] бытия (entra), реально отличные от пространства, материи и движения, но лишь отношения между пространством, материей, движением и их частями, созданные привзошедшим умом. Фигуру я определяю как границу протяжённого, величину — как число частей в протяжённом. Число я определяю так: единица + единица + единица и т. д., т. е. как совокупность единиц. Положение сводится к фигуре, так как оно есть конфигурация нескольких вещей. Время есть не что иное, как величина движения. А так как всякая величина есть число частей, то нет ничего удивительного, что Аристотель определил время через число движения» [22]. Из этой цитаты видно, что Лейбниц при определении числа пользовался понятием отношения, т. е. определял число через функцию. Лейбниц полагает что число не может быть актуально бесконечным, и может находится в процессе бесконечного становления. В самом деле, любое число можно сделать большим или меньшим.

Лейбниц придаёт большое значение тому факту, что не существует двух отдельных миров вещей и чисел. Числа имманентно присутствуют в каждой вещи: «Ибо наибольшее число (или число всех чисел), как и наибольшая фигура, содержит в себе противоречие» [23]. То положение, что не существует отдельного мира чисел, как то было в Античности, Лейбниц описывает следующим образом: «Утверждать это — всё равно что утверждать, будто при представлении нескольких вещей одновременно мы представляем мы представляем себе нечто большее, чем число, а именно res numerates, а между тем не существует двух множеств: одного — абстрактного, т. е. множества числа, другого — конкретного, т. е. множества перечисленных вещей» [24].

Понятие числа у Лейбница шире, чем понятие величины. Лейбниц утверждает то, что образование числа путём прибавления одной единицы к другой и т. д., не образует понятие числа во всём его объёме. Помимо целых чисел Лейбниц выделяет дробные, иррациональные и трансцендентные числа. Конечно, все не целые числа образуются из понятия величины. Величина в каком-то смысле противоположна понятию числа. Она не дискретна, а континуальна. Но понятие величины образуется по аналогии с понятием числа. Таким образом, дробные, иррациональные и трансцендентные числа образуются по аналогии с целыми. Лейбниц утверждает то, что понятие числа более точно чем понятие протяжения и величины: «Это относится к целому числу. Что же касается числа во всём его объёме, т. е. дробных, иррациональных и трансцендентных чисел, и всего того, что можно взять между двумя целыми числами, то оно пропорционально линии, и здесь, как у континуума, тоже нет минимума. Поэтому определение числа как совокупности единиц верно лишь в применении к целым числам. Точное различение идей в области протяжения не заключается в величине; для отчётливого определения величины приходится прибегнуть к целым числам и к другим числам, известным посредством целых, вследствие чего для точного определения величины приходится перейти то непрерывного количества к дискретному» [25].

Понятие числа играет очень важную роль в теории познания Лейбница. Лейбниц в своей гносеологии решил уточнить некоторые понятие Декарта. Декарт утверждал, что любое понятие, не исключая и понятия числа, должно удовлетворять критериям ясности и отчётливости. Лейбниц даёт нам более разветвлённое древо познания. Он делит познание на тёмное и ясное. Тёмным познанием является познание, которое недостаточно того чтобы узнать вещь или явление. Примером этому познанию может служить встреча на улице с человеком, которого ты не можешь узнать. Ясное познание — когда есть нечто по чему можно узнать этого человека. Например, я могу вспомнить, что этого человека я уже где-то встречал. В свою очередь, ясное познание делится на смутное и отчётливое. Смутным познание бывает тогда, когда нельзя по отдельности перечислить признаки, по которым можно определить предмет познания. В нашем случае я могу вспомнить отличительный признак, встреченного мною человека, например его глаза. Но, в тоже время, я мог узнать его не только по глазам, а по походке и т. д., словом я могу перечислить не все отличительные признаки, а лишь некоторые из них. Когда я смогу перечислить все признаки, по которым я узнаю предмет, то я могу мыслить предмет отчётливо. Мыслить какую-либо вещь отчётливо, возможно только при возможности дать вещи номинальное определение, «которое есть не что иное как перечисление достаточных признаков» [26]. В случае с прохожим, если я смогу дать номинальное его номинальное определение, то я смогу мыслить его отчётливо, что одно и то же. Отчётливое познание может быть адекватным и не адекватным. Если все признаки входящие в номинальное определение вещи могут быть поняты отчётливо, то тогда я познаю вещь адекватно. Лейбниц утверждает, что только понятие числа может быть познано адекватно: «Я не знаю, можно ли найти у людей пример такого познания, но понятие числа очень близко подходит к этому <...> Когда мы, например, думаем о тысячеугольнике или многоугольнике с 1000 равных сторон, мы не всегда обращаем внимание на природу стороны, на равенство или число 1000 (или куб десяти), но мысленно пользуемся этими словами (смысл которого нашему духу тёмен, или представляется неполно) вместо соответствующих им идей, так как нам кажется, что значение этих слов нам известно, объяснение же их в данный момент не необходимо. Подобное познание я обычно называю слепым или символическим — познание, которым пользуется в алгебре и арифметике, да и, пожалуй, почти везде» [27]. Число само по себе мыслится адекватно, но оно не существует отдельно от вещей в действительности. Вместе с протяжённостью, фигурой и т. д., оно образует сложное понятие вещи, которое познаётся нами символическим образом.

Число как сущность у Лейбница обосновывается положением о тождестве. Любое число всегда тождественно самому себе. Оно не может противоречить самому себе. Таким образом, понятие числа у Лейбница является аналитическим: «Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц, как мы помним заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое понятие, то, пожалуй, это только понятие числа» [28].

Лейбниц согласен с Декартом в том, что число может быть отделено от вещи только мысленным образом. Но число является такой сущностью, которая в действительности не существует в отдельности от вещи. Когда мы считаем что-либо в действительности мы всегда считаем что-то (фигуру, движение, величину и т. д.). Числа как сущие могут быть представлены как счисление: «Хотя наука о числах достигла достаточно высокой ступени совершенства и благодаря искусству комбинаторики, или общей символики (speciosa generalis), в результате приложения которой к числам родился математический анализ, сможет достичь ещё большего, однако доказательства любой аналитической истины всегда могут быть даны в обычных числах, и я даже изобрёл способ оценки любого алгебраического исчисления путём отбрасывания девятеричного, наподобие обычного исчисления. И таким образом всякая чистая математическая истина может быть с помощью чисел перенесена из сферы разума в область наглядного опыта» [29]. В конечном итоге, Лейбниц подтверждает мой вывод о том, что от существования числа, т. е. счёта нельзя перейти к его сущности. Иными словами, истины разума не могут быть обоснованы истинами факта.

Переход от сущности числа к его существованию осуществляется дедуктивным способом, т. е. от общего к частному. Переход от существования числа к его сущности осуществляется индуктивным способом. Любая индукция не может быть осуществлена полностью. Поэтому переход от числа как сущего к числу как сущности до конца не возможен: «Поэтому-то геометры всегда думали, что в геометрии или арифметике доказанное только индукцией или примерами никогда нельзя считать вполне доказанным. Например, опыт учит нас, что если складывать нечётные числа в последовательном порядке, то они дают по порядку квадратные числа, т. е. такие, которые получаются от перемножения чисел самих на себя. Так 1 и 3 дают 4, т. е. дважды два; 1, 3 и 5 дают 9, т. е. трижды три; 1 + 3 + 5 + 7 дают 16, т. е. 4 помноженное на 4; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, т. е. 5 × 5, и т. д. Однако если бы мы произвели этот опыт сто тысяч раз, продолжая вычисления весьма далеко, то, хотя бы мы и могли бы разумно заключить из этого, что так будет выходить постоянно, всё таки абсолютной достоверности мы бы не имели, пока не узнали бы демонстративным путём основание этого, которое и найдено уже давно математиками» [30]

Кант.

Кант даёт следующее определение числа — число есть количество (величина) явлений. Кант сопоставляет число в арифметике со временем, а число в геометрии с пространством. Я бы согласился со Шпенглером, и назвал бы время априорной формой созерцания, а пространство — априорной формой созерцаемого. Число не представляет собою нечто специфически пространственное. Числа не принадлежат исключительно к сфере протяжённого. Античность знает только целые положительные числа потому, что пространство экстенсивно. Платон и пифагорейцы определяли число через пространство. Кант, в конечном итоге, определяет число через время. У Канта пространство является внешней априорной формой созерцания. Пространство экстенсивно и только экстенсивно. Время является внутренней и всеобщей формой созерцания. Оно как экстенсивно, так и интенсивно. Поэтому-то Кант и определяет число через время. Число — это количественная характеристика явлений. Оно не может характеризовать вещи качественно.

Явления могут происходить в одно время, т. е. вместе. Число может находиться в одном и том же времени как равенство самому себе. В этом состоит аналитическое определение числа. Но Канта интересует синтетическое определение числа. Именно в этом случае число может рассматриваться как ставшее. Но явления могут также происходить и в различное время, т. е. любое число может становиться: увеличиваться или уменьшаться. Кант утверждает то, что подводит различные представления под одно общее представление. Мне кажется, что число может быть рассмотрено как функция. Наиболее общими функциями, на мой взгляд, являются категории. Категории трансцендентальной логики это не просто априорные формы предикации, но наиболее общие правила подведения созерцания под понятия. Категории суть определения существования вещей. Категориями чисел являются категории количества: единство, множественность и целокупность. Число есть соединение категорий единства и множественности и предстаёт как целокупность: «Так, целокупность (тотальность) есть не что иное, как множество, рассматриваемое как единство <...> Так, понятие числа (относящееся к категории целокупности) не всегда возможно там, где даны понятия множества и единства (например в представлении бесконечного)» [31]. Кант определяет способности как условия возможности какой-либо деятельности. Число, на мой взгляд можно отнести к области способности рассудка. Кант не отвечает на вопрос что есть числ, т. е. он не говорит о сущности, или чтойности числа. Он выбрал такой ракурс, при котором не видно сущности числа, так как он рассматривает всё через призму времени. А время не имеет чтойности.

Не смотря на то, что сущность числа у Канта не может быть определена через время, Кант определяет число через трансцендентальную схему количества и через категорию количества. Схема занимает как бы промежуточное положение между чувственным и интеллегибельным. Трансцендентальная схема похожа на категорию потому, что она имеет дело с общим. Она отличается от категорий тем, что имеет дело с чувственностью, или образами. Трансцендентальную схему роднит с образом то обстоятельство, что она имеет дело с чувственностью. Но она отличается от образа тем, что чувственный образ — это единичное представление, а схема — это общее представление. Трансцендентальная схема не является ни категорией, ни образом, а служит промежуточным звеном между ними. Трансцендентальной схемой числа является последовательное прибавление точек. Трансцендентальной схемой числа 5 является метод, по которому пятёрку можно построить. Мы мысленно представляем одну точку, затем к ней мысленно прибавляем другую, к двум — третью, — до тех пор пока не образуем число пять. Причём число 5 можно построить только в соответствии с функцией. Точка под номером пять окажется не только под пятым номером, она окажется ещё и пятой по последовательности. Таким образом, число определяется через трансцендентальную схему количества: «Схема сама по себе всегда есть продукт воображения, но так как синтез воображения имеет в виду не единичное созерцание, а только единство в определении чувственности, то схему приходится всё же отличать от образа. Так, если я полагаю пять точек одну за другой... то это образ числа пять. Если же я мыслю только число вообще, безразлично, будет это пять или сто, то такое мышление есть скорее представление о методе (каким образом представлять в одном образе множество, например тысячу) сообразно некоему понятию, чем сам этот образ, который в последнем случае, когда я мыслю тысячу, вряд ли могу обозреть и сравнить с понятием. Это представление об общем способе, каким воображение доставляет понятию образ, я называю схемой этого понятия» [32].

Вот определение числа через всеобщую априорную форму созерцания — время: «Чистый образ всех величин для внешнего чувства есть пространство, а чистый образ всех предметов для чувств вообще есть время. Чистая же схема количества как понятия рассудка есть число — представление, объединяющее последовательное прибавление единицы к единице (однородной). Число, таким образом, есть не что иное, как единство синтеза многообразного [содержания] однородного содержания вообще, возникающее благодаря тому, что я произвожу само время в схватывании созерцания» [33]. Я не нашёл этого у Канта, но из того, что он выделяет три способности: воображение, отвечающее за деятельность, единство, за которое отвечает рассудок, и целокупность, за которую отвечает разум, я формирую следующую концепцию числа. Число как деятельность существует в воображении. Число как единство синтеза категории количества и трансцендентальной схемы количества представлено в рассудке и это является его сущностью. На вопрос, существует ли число каким-нибудь образом в разуме, у меня нет ответа. Число как сущее существует в воображении как счёт: сложение и вычитание. Но если от сущности, т. е. единства синтеза категории количества и трансцендентальной схемы количества можно перейти к его существованию, т. е. счёту, то обратный переход не возможен

Заключение.

В данной работе я утверждаю, что число как сущность не обосновывает принцип достаточного основания, а как и всякая сущность выходит за рамки принципа достаточного основания. Число как сущность представляет собой поддающуюся описанию внутреннюю достоверность, только, если оно обосновывает себя само.

Аристотель, с присущей ему остротой ума писал о том, что «вещи, для того чтобы быть надо быть чем-то». Слово "быть" обозначало "первую сущность", а слово "быть чем-то" — "вторую сущность". Конечно, у Аристотеля не было отдельной первой и второй сущности: термин "первая сущность" и термин "вторая сущность" обозначали две различных стороны сущности. Для того, чтобы ответить на главный вопрос метафизики - "что это такое есть?", нужно, прежде всего, указать на то, что вещь есть. Аспект определённости Аристотель называет "быть чем-то". Это вторая сущность вещи — то, как вещь существует. Я хочу отметить, что в данной работе я рассматривал две различные формы существования ("вторые сущности") чисел: так, как их представляли в Древней Греции и так, как их представляли в Новое Время. Вопрос о "первой сущности" числа для меня остался не прояснённым. То есть я рассуждал о числе как о сущем. И я хочу отметить невозможность перехода из области сущего в область сущности. Число принципиально отличается от счёта — оно является основанием для счёта. Если от идеи числа можно перейти к счёту, то обратный переход не возможен.

Это утверждал Николай Кузанский, когда писал о том, что число есть мера всего, но основано не на числе, а на единице. Об этом писал Декарт, когда говорил о том, что математика и счёт отличны друг от друга. А всё это, в конечном итоге, означает, что понятие числа является не выводимым из опыта, а априорным. Иными словами писал об этом Лейбниц, когда принимал возможность перехода от дедукции к индукции, но не наоборот — от индукции — к индукции. Это же утверждал на мой взгляд и Кант: если от сущности числа, т. е. единства синтеза категории количества и трансцендентальной схемы количества можно перейти к его существованию, т. е. счёту, то обратный переход не возможен.

Число оказалось всеобъемлющем. На нём базируются наши представления о пространстве и о времени. Не смотря на то, что представление о пространстве для человека Нового Времени противоречит представлению о времени, они могут быть выражены через число. И пространство, и время могут быть сведены к числовому выражению. На протяжении всей работы я старался следовать их принципам. Кант и Аристотель были для меня вершинами в анализе двух различных способов существования чисел.

❧❧❧

С. Н. Никаноров

Число у Аристотеля и в философии Нового времени.